Algebraische Gleichung/x^5+10x^4+x-5/Eliminiere b 4/Aufgabe/Lösung

Wir machen den Ansatz ${}x=y+c$ . Einsetzen ergibt

(y+c)^{5}+10(y+c)^{4}+y+c-5=0,

wobei der Koeffizient zu

{}y^{4}

gleich

{}0

werden soll. Dieser Koeffizient ist

{}5c+10

, also muss man

c=-2

wählen. Damit wird das Polynom zu

{}{\begin{aligned}\,&=(y+c)^{5}+10(y+c)^{4}+y+c-5\\&=(y-2)^{5}+10(y-2)^{4}+y-2-5\\&=y^{5}-5\cdot 2y^{4}+10(-2)^{2}y^{3}+10(-2)^{3}y^{2}+5(-2)^{4}y-2^{5}\\&\,\,\,+10(y^{4}+4(-2)y^{3}+6(-2)^{2}y^{2}+4(-2)^{3}y+16)+y-7\\&=y^{5}+40y^{3}-80y^{2}+80y-32-80y^{3}+240y^{2}-320y+160+y-7\\&=y^{5}-40y^{3}+160y^{2}-239y+121\end{aligned}}

und die äquivalente Gleichung ist

{}y^{5}-40y^{3}+160y^{2}-239y+121=0\,.