Algebraische Körpererweiterung/Transitivität/Aufgabe/Lösung

Es ist zu zeigen, dass jedes Element ${}f\in M$ algebraisch über ${}K$ ist. Nach Voraussetzung ist ${}f$ algebraisch über ${}L$, d.h. es gibt ein normiertes Polynom ${}P\in L[X]$ mit ${}P(f)=0$. Es seien ${}a_{0},\ldots ,a_{n}\in L$ die Koeffizienten von ${}P$. Da ${}L$ über ${}K$ algebraisch ist, sind all diese Koeffizienten algebraisch über ${}K$. Wir betrachten die Kette von ${}K$-Algebren

$K\subseteq K[a_{0}]\subseteq K[a_{0},a_{1}]\subseteq K[a_{0},a_{1},a_{2}]\subseteq \ldots \subseteq K[a_{0},\ldots ,a_{n}]=:K'.$

Dabei ist jeweils ${}a_{i}$ über ${}K[a_{0},\ldots ,a_{i-1}]$ algebraisch und daher handelt es sich jeweils um endliche Körpererweiterungen. Nach der Gradformel ist dann auch ${}K\subseteq K'$ endlich. Weiterhin ist ${}P\in K'[X]$, da ja nach Konstruktion die Koeffizienten von ${}P$ zu ${}K'$ gehören. Also ist ${}f$ algebraisch über ${}K'$ und damit zeigt wieder die Kette ${}K\subseteq K'\subseteq K'[f]$, dass ${}K'[f]$ und erst recht ${}K[f]$ endlich über ${}K$ ist. Also ist ${}f$ algebraisch über ${}K$.

Zur gelösten Aufgabe