Algebraische Kurve/ZX^2 ist Y^3/Charakteristik null/Singuläre Punkte und Parametrisierung/Aufgabe

Betrachte die durch die homogene Gleichung

$Z{X}^2=Y^3$

gegebene projektive Kurve  $C\subset {\mathbb{P}}_K^2$  über einem Körper $K$ der Charakteristik $0$.

a) Bestimme die singulären Punkte der Kurve.

b) Zeige, dass durch die Zuordnung

$\phi :(S,T)⟼(T^3,S{T}^2,S^3)=(X,Y,Z)$

eine wohldefinierte Abbildung

$\phi :{\mathbb{P}}_{}^1⟶{\mathbb{P}}_{}^2$

gegeben ist.

c) Zeige, dass die Bildpunkte von $\phi$ auf der Kurve $C$ liegen.

d) Welche Punkte in ${\mathbb{P}}_{}^1$ entsprechen den singulären Punkten der Kurve $C$.

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