Algebraische Kurve/ZX^2 ist Y^3/Charakteristik null/Singuläre Punkte und Parametrisierung/Aufgabe

Betrachte die durch die homogene Gleichung

{}ZX^{2}=Y^{3}\,

gegebene projektive Kurve ${}C\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ über einem Körper ${}K$ der Charakteristik ${}0$ .

a) Bestimme die singulären Punkte der Kurve.

b) Zeige, dass durch die Zuordnung

\varphi :(S,T)\longmapsto \left(T^{3},\,ST^{2},\,S^{3}\right)=(X,Y,Z)

eine wohldefinierte Abbildung

\varphi \colon {\mathbb {P} }_{}^{1}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{}^{2}

gegeben ist.

c) Zeige, dass die Bildpunkte von ${}\varphi$ auf der Kurve ${}C$ liegen.

d) Welche Punkte in ${}{\mathbb {P} }_{}^{1}$ entsprechen den singulären Punkten der Kurve ${}C$ .