Algebraische Kurven/Gemischte Satzabfrage/10/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ eine affin-algebraische Menge mit Verschwindungsideal ${}\operatorname {Id} \,(V)$. Dann ist ${}V$ genau dann irreduzibel, wenn ${}\operatorname {Id} \,(V)$ ein Primideal ist.
2. Es sei ${}R$ ein faktorieller Integritätsbereich. Dann ist ${}R$ normal.
3. Es sei ${}K$ ein Körper mit dem Potenzreihenring ${}K[\![T]\!]$. Es sei ${}G\in K[\![S]\!]$ eine Potenzreihe mit konstantem Term ${}0$. Dann definiert ${}G$ durch Einsetzen einen ${}K$-Algebrahomomorphismus

   $K[\![T]\!]\longrightarrow K[\![S]\!],\,F\longmapsto F(G).$

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