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Algebraische Kurven/Gemischte Satzabfrage/11/Aufgabe/Lösung

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  1. Es sei ein Körper und seien und kommutative Algebren von endlichem Typ. Es sei ein -Algebrahomomorphismus. Dann induziert dies eine Abbildung
    Diese Abbildung ist stetig bezüglich der Zariski-Topologie.
  2. Es sei ein kommutativer Ring und sei ein kommutatives Monoid. Es sei eine kommutative -Algebra und

    ein Monoidhomomorphismus (bezüglich der multiplikativen Struktur von ). Dann gibt es einen eindeutig bestimmten -Algebrahomomorphismus

    derart, dass das Diagramm

    kommutiert.
  3. Es sei ein Körper und sei nichtkonstant ohne mehrfachen Faktor mit zugehöriger algebraischer Kurve . Es sei ein Punkt der Kurve mit maximalem Ideal und mit lokalem Ring . Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
    1. ist ein glatter Punkt der Kurve.
    2. Die Multiplizität von ist eins.
    3. ist ein diskreter Bewertungsring.
    4. ist ein normaler Integritätsbereich.