Algebraische Kurven/Gemischte Satzabfrage/12/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}A$ eine ${}K$-Algebra von endlichem Typ. Dann ist jedes Radikal in ${}A$ der Durchschnitt von maximalen Idealen.
2. Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien ${}R$ und ${}S$ kommutative ${}K$-Algebren vom endlichen Typ mit zugehörigen ${}K$-Spektren ${}X=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ und ${}Y=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(S\right)}$. Dann ist die durch einen ${}K$-Algebrahomomorphismus ${}\varphi \colon R\rightarrow S$ induzierte Spektrumsabbildung

   $\varphi ^{*}\colon Y\longrightarrow X$

   ein Morphismus.
3. Es sei ${}(R,{\mathfrak {m}})$ ein lokaler Ring und sei ${}V$ ein endlich erzeugter ${}R$-Modul. Es sei ${}{\mathfrak {m}}V=V$ vorausgesetzt. Dann ist ${}V=0$.

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