Algebraische Kurven/Gemischte Satzabfrage/13/Aufgabe/Lösung

1. Es sei $K$ ein Körper und seien $P,Q\in K[T]$ zwei Polynome. Dann gibt es ein Polynom $F\in K[X,Y]$, $F\ne 0$, mit $F(Q,P)=0$. D.h. das Bild einer polynomial parametrisierten Kurve liegt in einer ebenen algebraischen Kurve $C=V(F)$.
2. Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien $F_i\in K[X_1,\dots ,X_n]$, $i\in I$, Polynome mit

   ${𝔸}_K^n=\bigcup _{i\in I}D(F_i).$

   Dann erzeugen die $F_i$ das Einheitsideal in $K[X_1,\dots ,X_n]$.
3. Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, sei $F=F_m+\cdots +F_d\in K[X,Y]$, $m\le d$, ein Polynom in homogener Zerlegung und  $L=V(aX+bY)$  eine Gerade durch den Nullpunkt $P$, die keine Komponente von $V(F)$ sei. Dann ist

   ${\mathrm{mult}}_P(L,V(F))\ge m_P(F)=m,$

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