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Algebraische Kurven/Gemischte Satzabfrage/14/Aufgabe/Lösung
Es sei
K
{\displaystyle {}K}
ein
algebraisch abgeschlossener Körper ,
R
{\displaystyle {}R}
eine
reduzierte
K
{\displaystyle {}K}
-
Algebra von endlichem Typ
und sei
V
=
K
−
Spek
(
R
)
{\displaystyle {}V=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}}
das
K
{\displaystyle {}K}
- Spektrum
von
R
{\displaystyle {}R}
. Es sei
F
∈
R
{\displaystyle {}F\in R}
mit zugehöriger offener Menge
D
(
F
)
⊆
V
{\displaystyle {}D(F)\subseteq V}
. Dann ist
Γ
(
D
(
F
)
,
O
)
=
R
F
.
{\displaystyle {}\Gamma (D(F),{\mathcal {O}})=R_{F}\,.}
Es sei
M
⊆
N
{\displaystyle {}M\subseteq \mathbb {N} }
ein durch teilerfremde Elemente
e
1
,
…
,
e
n
{\displaystyle {}e_{1},\ldots ,e_{n}}
erzeugtes Untermonoid und sei
N
n
→
M
{\displaystyle {}\mathbb {N} ^{n}\rightarrow M}
die zugehörige surjektive Abbildung mit dem zugehörigen Restklassenhomomorphismus
φ
:
K
[
X
1
,
…
,
X
n
]
→
K
[
M
]
{\displaystyle {}\varphi \colon K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\rightarrow K[M]}
.
Dann wird das Kernideal durch
ker
φ
=
(
∏
i
∈
I
1
X
i
r
i
−
∏
i
∈
I
2
X
i
s
i
:
I
1
,
I
2
⊆
{
1
,
…
,
n
}
disjunkt
,
∑
i
∈
I
1
r
i
e
i
=
∑
i
∈
I
2
s
i
e
i
)
{\displaystyle \ker \varphi ={\left(\prod _{i\in I_{1}}X_{i}^{r_{i}}-\prod _{i\in I_{2}}X_{i}^{s_{i}}:\,I_{1},I_{2}\subseteq \{1,\ldots ,n\}{\text{ disjunkt }},\sum _{i\in I_{1}}r_{i}e_{i}=\sum _{i\in I_{2}}s_{i}e_{i}\right)}\,}
Es sei
K
{\displaystyle {}K}
ein Körper,
K
[
[
T
]
]
{\displaystyle {}K[\![T]\!]}
der Potenzreihenring über
K
{\displaystyle {}K}
und
G
=
∑
j
=
0
∞
b
j
T
j
{\displaystyle {}G={\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}T^{j}}
mit
b
0
=
0
{\displaystyle b_{0}=0}
und
b
1
≠
0
{\displaystyle b_{1}\neq 0}
. Dann definiert der durch
T
↦
G
{\displaystyle {}T\mapsto G}
definierte Einsetzungshomomorpismus einen
K
{\displaystyle {}K}
-Algebraautomorphismus auf
K
[
[
T
]
]
{\displaystyle {}K[\![T]\!]}
.