Algebraische Kurven/Gemischte Satzabfrage/15/Aufgabe/Lösung

1. Es seien zwei rationale Funktionen ${}\varphi _{1}={\frac {P_{1}}{Q_{1}}}$ und ${}\varphi _{2}={\frac {P_{2}}{Q_{2}}}$ mit ${}P_{1},P_{2},Q_{1},Q_{2}\in K[T]$, ${}Q_{1},Q_{2}\neq 0$, gegeben, die nicht beide konstant seien. Dann gibt es ein nichtkonstantes Polynom ${}F\in K[X,Y]$ mit

   ${}F(\varphi _{1}(T),\varphi _{2}(T))=0\,.$

2. Es sei ${}K$ ein unendlicher Körper. Dann ist das Verschwindungsideal des affinen Raumes ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ das Nullideal und der zugehörige Koordinatenring ist der Polynomring ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$.
3. Es sei ${}M$ ein torsionsfreies kommutatives Monoid mit Kürzungsregel und mit zugehöriger Differenzengruppe ${}\Gamma (M)$ und mit Normalisierung ${}{\tilde {M}}$, ${}M\subseteq {\tilde {M}}\subseteq \Gamma (M)$. Es sei ${}R$ ein normaler Integritätsbereich. Dann ist die Normalisierung des Monoidringes ${}R[M]$ der Monoidring ${}R[{\tilde {M}}]$.

Zur gelösten Aufgabe