Algebraische Kurven/Gemischte Satzabfrage/2/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}V\subset \mathbb {A} _{K}^{n}$ eine affin-algebraische Menge. Dann gibt es eine eindeutige Zerlegung

   ${}V=V_{1}\cup \ldots \cup V_{k}\,$

   mit irreduziblen Mengen ${}V_{i}$ mit ${}V_{i}\not \subseteq V_{j}$ für ${}i\neq j$.
2. Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung, die (als ${}K$-Algebra) endlich erzeugt sei. Dann ist ${}L$ endlich über ${}K$.
3. Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[\![T]\!]$ der Ring der formalen Potenzreihen in einer Variablen. Dann ist eine formale Potenzreihe ${}F={\sum }_{n=0}^{\infty }a_{n}T^{n}$ genau dann eine Einheit, wenn der konstante Term ${}a_{0}\neq 0$ ist.

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