Algebraische Kurven/Gemischte Satzabfrage/3/Aufgabe/Lösung

1. Für einen kommutativen Ring ${}R$ sind folgende Aussagen äquivalent.
   1. ${}R$ ist noethersch.
   2. Jede aufsteigende Idealkette

      ${\mathfrak {a}}_{1}\subseteq {\mathfrak {a}}_{2}\subseteq {\mathfrak {a}}_{3}\subseteq \ldots$

      wird stationär, d.h. es gibt ein ${}n$ mit ${}{\mathfrak {a}}_{n}={\mathfrak {a}}_{n+1}=\ldots$.

2. Es sei ${}R$ ein noetherscher Ring. Dann ist auch der Polynomring ${}R[X]$ noethersch.
3. Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien ${}F,G\in K[X,Y,Z]$ zwei homogene Polynome vom Grad ${}m$ und ${}n$ ohne gemeinsame Komponente mit zugehörigen Kurven ${}C=V_{+}(F),D=V_{+}(G)\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$. Dann gilt

   ${}\sum _{P}\operatorname {mult} _{P}(C,D)=mn\,.$

Zur gelösten Aufgabe