Algebraische Kurven/Gemischte Satzabfrage/7/Aufgabe/Lösung

1. Es sei $C=V(F)$ eine Quadrik in zwei Variablen, also

   $F=\alpha X^2+\beta XY+\gamma Y^2+\delta X+ϵY+\eta$

   (mit $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ nicht alle $0$). Es sei vorausgesetzt, dass es mindestens einen Punkt auf der Quadrik gibt. Dann gibt es Polynome $P_1,P_2,Q\in K[T]$, $Q\ne 0$, derart, dass das Bild der rationalen Abbildung

   ${𝔸}_K^1\supseteq D(Q)⟶{𝔸}_K^2\text{ mit }t⟼(\frac{P_1(t)}{Q(t)},\frac{P_2(t)}{Q(t)})$

   in $C$ liegt.
2. Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, $R$ eine reduzierte $K$-Algebra von endlichem Typ und sei  $V=K-\mathrm{Spek}\left(R\right)$  das $K$-Spektrum von $R$. Dann ist

   $\Gamma (V,𝒪)=R.$

3. Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei $V=V(𝔞)\subseteq {𝔸}_K^n\cong D_{+}(X_0)$ eine affine Varietät. Dann wird der projektive Abschluss durch $V_{+}(𝔟)$ beschrieben, wobei $𝔟$ die Homogenisierung von $𝔞$ in $K[X_0,X_1,\dots ,X_n]$ bezeichnet.

Zur gelösten Aufgabe