Algebraische Kurven/Gemischte Satzabfrage/8/Aufgabe/Lösung

1. Es sei $K$ ein Körper und seien  $V,\tilde{V}\subseteq {𝔸}_K^n$  zwei affin-algebraische Teilmengen, die affin-linear äquivalent seien. Es seien $\mathrm{Id}(V),\mathrm{Id}(\tilde{V})$ die zugehörigen Verschwindungsideale. Dann sind die Restklassenringe (als $K$-Algebren) isomorph, also

   $K[X_1,\dots ,X_n]/\mathrm{Id}(V)\cong K[X_1,\dots ,X_n]/\mathrm{Id}(\tilde{V}).$

2. Es sei $R$ ein Integritätsbereich und sei $M$ ein torsionsfreies kommutatives Monoid, das die Kürzungsregel erfüllt. Dann ist der Monoidring $R[M]$ ein Integritätsbereich.
3. Es sei $K$ ein Körper und seien $F,G\in K[X,Y]$ Polynome ohne gemeinsame Komponente. Es sei

   $P\in V(F,G)\subseteq {𝔸}_K^2$

   ein Schnittpunkt. Dann schneiden sich $V(F)$ und $V(G)$ in $P$ genau dann transversal, wenn die Schnittmultiplizität  ${\mathrm{mult}}_P(V(F),V(G))=1$ 

   ist.

Zur gelösten Aufgabe