Algebraische Singularitäten/Sinnvolle Theorie/Kriterien/Bemerkung

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, eine sinnvolle Theorie über Singularitäten aufzubauen. Als Kriterien kann man folgende Punkte nennen, die sich an den Fasern zu polynomialen Abbildungen als fundamentale Beispielklasse orientieren.

1. Die Theorie soll geometrisch sein. Die Objekte sollen eine räumliche Struktur haben, die zwar vom ${}\mathbb {R} ^{n}$ abweichen darf, aber doch noch der geometrischen Intuition zugänglich sein soll.
2. Die Theorie soll einen sinnvollen Dimensionsbegriff haben.
3. Die geometrischen Objekte sollen sinnvolle geometrische Unterobjekte haben (so wie es Untervektorräume und Untermannigfaltigkeiten gibt).
4. Singularitäten sollen ein Ausnahmephänomen sein. Wie die Fasern zu polynomialen Abbildungen sollen die geometrischen Objekte eine große dichte Teilmenge besitzen, die regulär ist.
5. Dieser reguläre Ort soll für die Singularität wichtige Konsequenzen haben, die Singularität soll nicht völlig unverbunden mit ihrer Umgebung sein.
6. Die Singularitäten sollen lokal untersucht werden können, wichtige Eigenschaften von Singularitäten sollen nicht von entfernten Punkten abhängen.
7. Es soll eine adäquate Klasse von Funktionen geben, die auf den geometrischen Objekten definiert sind. Auf Mannigfaltigkeiten gibt es stetig differenzierbare Funktionen.