Algebraische Singularitäten/Verschiedene Ursprünge/Bemerkung

Welche Möglichkeiten gibt es, Räume mit Singularitäten zu produzieren?

1. Fasern zu polynomialen Abbildungen.
2. Man kann willkürlich einzelne Punkte einer Mannigfaltigkeit miteinander identifizieren. Wenn man bei einem Faden zwei Punkte miteinander identifiziert, so entsteht ein Überkreuzungspunkt, der kein Punkt einer Mannigfaltigkeit sein kann. Ebenso wenn man auf einem Blatt Papier zwei Punkte miteinander „verklebt“.
3. Man kann nicht nur einzelne Punkte miteinander identifizieren, sondern auch größere Teilmengen zu einem Punkt zusammenziehen (kontrahieren). Wenn man beispielsweise einen Zylinder aus Papier entlang eines Kreises zusammenschnürt, so entsteht ein besonderer Punkt, an dem alle Längsgeraden des Zylinders zusammenlaufen, eine Doppelkegelspitze.
4. Quotientenmengen zu Gruppenoperationen. Reguläre Räume verfügen teilweise über gewisse Symmetrien. Auf dem ${}K^{2}$ gibt es beispielsweise die Punktsymmetrie am Nullpunkt ${}(0,0)$. In einer solchen Situation ist die Quotientenmenge, die Punkte miteinander identifiziert, wenn sie durch eine Symmetrie ineinander überführbar sind, ein neues geometrisches Objekt, das Singularitäten haben kann.