Allgemeine lineare Gruppe/Endlicher Körper/Anzahl/Aufgabe/Lösung

Es sei ${}M=(v_{1},\ldots ,v_{n})$ eine invertierbare Matrix über ${}{\mathbb {F} }_{q}$. Dies bedeutet, dass die Spaltenvektoren eine Basis von ${}{\mathbb {F} }_{q}^{n}$ bilden und dies bedeutet wiederum, dass die ${}v_{1},\ldots ,v_{i}$ einen ${}i$-dimensionalen Untervektorraum erzeugen. Ein ${}i$-dimensionaler Untervektorraum besitzt ${}q^{i}$ Elemente. Wenn ${}v_{1},\ldots ,v_{i}$ fixiert sind, so gibt es ${}q^{n}-q^{i}$ Vektoren ${}v_{i+1}$, die sicher stellen, dass der von den Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{i},v_{i+1}$ erzeugte Untervektorraum eine Dimension mehr hat. Daher ist die Gesamtzahl von solchen Matrizen gleich

${}{\begin{aligned}(q^{n}-1)(q^{n}-q)(q^{n}-q^{2})\cdots (q^{n}-q^{n-1})&=qq^{2}\cdots q^{n-1}(q^{n}-1)(q^{n-1}-1)\cdots (q-1)\\&=q^{\binom {n}{2}}(q^{n}-1)(q^{n-1}-1)\cdots (q-1).\end{aligned}}$

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