Allgemeine lineare Gruppe/Endlicher Körper/Anzahl/Aufgabe/Lösung

Es sei $M = (v_{1}, \dots, v_{n})$ eine invertierbare Matrix über $𝔽_{q}$ . Dies bedeutet, dass die Spaltenvektoren eine Basis von $𝔽_{q}^{n}$ bilden und dies bedeutet wiederum, dass die $v_{1}, \dots, v_{i}$ einen $i$ -dimensionalen Untervektorraum erzeugen. Ein $i$ -dimensionaler Untervektorraum besitzt $q^{i}$ Elemente. Wenn $v_{1}, \dots, v_{i}$ fixiert sind, so gibt es $q^{n} - q^{i}$ Vektoren $v_{i + 1}$ , die sicherstellen, dass der von den Vektoren $v_{1}, \dots, v_{i}, v_{i + 1}$ erzeugte Untervektorraum eine Dimension mehr hat. Daher ist die Gesamtzahl von solchen Matrizen gleich

\begin{matrix} (q^{n} - 1) (q^{n} - q) (q^{n} - q^{2}) \dots (q^{n} - q^{n - 1}) & = q q^{2} \dots q^{n - 1} (q^{n} - 1) (q^{n - 1} - 1) \dots (q - 1) \\ = q^{(\binom{n}{2})} (q^{n} - 1) (q^{n - 1} - 1) \dots (q - 1) . \end{matrix}

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