Alternierende Gruppe/Polynomring/3/Invariantenring/Beispiel

Die natürliche Operation der alternierenden Gruppe $A_{3} ≅ ℤ / (3)$ auf dem $K^{3}$ wird durch den Zyklus

e_{1} ⟼ e_{2}, e_{2} ⟼ e_{3}, e_{3} ⟼ e_{1}

erzeugt. Besitzt $K$ dritte primitive Einheitswurzeln, so kann man die zugehörige Matrix diagonalisieren und man erhält eine neue Basis (vergleiche Fakt) mit den Eigenvektoren

e_{1} + e_{2} + e_{3}, e_{1} + ζ e_{2} + ζ^{2} e_{3}, e_{1} + ζ^{2} e_{2} + ζ e_{3} .

Wir führen die neuen Variablen

U = X + Y + Z, V = X + ζ Y + ζ^{2} Z, W = X + ζ^{2} Y + ζ Z

ein. In dieser Basis ist der erzeugende Automorphismus durch

U ⟼ U, V ⟼ ζ V, W ⟼ ζ^{2} W

gegeben und der Invariantenring ist in dieser Basis gleich

K [U, V^{3}, V W, W^{3}] .

Die einzige Relation ist durch $V^{3} W^{3} = (V W)^{3}$ gegeben.

Wie sieht der Unterring der symmetrischen Polynome aus? Die Transposition $Y \leftrightarrow Z$ lässt $U$ unverändert und vertauscht $V$ und $W$ . Das bedeutet für den alternierenden Invariantenring, dass $V^{3}$ und $W^{3}$ vertauscht werden. Der symmetrische Invariantenring ist daher

K [U, V W, V^{3} + W^{3}] .

Dabei sind

\begin{matrix} V W & = X^{2} + Y^{2} + Z^{2} + ζ X Y + ζ^{2} X Y + ζ X Z + ζ^{2} X Z + ζ Y Z + ζ^{2} Y Z \end{matrix}

\begin{matrix} V^{3} & = X^{3} + Y^{3} + Z^{3} + 6 X Y Z + 3 ξ^{2} X Y^{2} + 3 ξ X^{2} Y + 3 ξ X Z^{2} + 3 ξ^{2} X^{2} Z + 3 ξ^{2} Y Z^{2} + 3 ξ Y^{2} Z \end{matrix}

und

\begin{matrix} W^{3} & = X^{3} + Y^{3} + Z^{3} + 6 X Y Z + 3 ξ X Y^{2} + 3 ξ^{2} X^{2} Y + 3 ξ^{2} X Z^{2} + 3 ξ X^{2} Z + 3 ξ Y Z^{2} + 3 ξ^{2} Y^{2} Z . \end{matrix}

Für die Vandermondesche Determinante gilt

\begin{matrix} △ & = (Y - X) (Z - X) (Z - Y) \\ = X Y^{2} - X^{2} Y + X^{2} Z - X Z^{2} + Y Z^{2} - Y^{2} Z \\ = \frac{1}{3 (ξ^{2} - ξ)} (V^{3} - W^{3}) . \end{matrix}