Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/11/Aufgabe/Lösung

1. Für ${}x\geq -1$ und ${}n\in \mathbb {N}$ ist

   ${}(1+x)^{n}\geq 1+nx\,.$

2. Es sei

   ${}f=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}\,$

   eine konvergente Potenzreihe mit dem Konvergenzradius ${}R>0$ und sei ${}b\in U{\left(a,R\right)}$. Dann gibt es eine konvergente Potenzreihe

   ${}h=\sum _{i=0}^{\infty }d_{i}(z-b)^{i}\,$

   mit Entwicklungspunkt ${}b$ und mit einem Konvergenzradius ${}s\geq R-\vert {a-b}\vert >0$ derart, dass die durch diese beiden Potenzreihen dargestellten Funktionen

   auf ${}U{\left(b,s\right)}$ übereinstimmen.
3. Es ist ${}\cos \left(z+\pi /2\right)=-\sin z$ und ${}\sin \left(z+\pi /2\right)=\cos z$ für alle ${}z\in {\mathbb {C} }$.

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