Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/22a/Aufgabe/Lösung

1. Es seien ${}a\leq b$ reelle Zahlen und sei ${}f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige Funktion. Es sei ${}y\in \mathbb {R}$ eine reelle Zahl zwischen ${}f(a)$ und ${}f(b)$. Dann gibt es ein ${}x\in [a,b]$ mit ${}f(x)=y$.
2. Die Stetigkeit von ${}f$ im Punkt ${}a$ ist äquivalent dazu, dass für jede Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$, die gegen ${}a$ konvergiert, die Bildfolge ${}{\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen ${}f(a)$ konvergiert.
3. Für ${}z,w\in {\mathbb {C} }$ gilt

   $\sin(z+w)=\sin z\,\cos w+\cos z\,\sin w.$

4. Es sei ${}D\subseteq {\mathbb {K} }$ eine offene Menge, ${}a\in D$ ein Punkt und

   $f,g\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$

   Funktionen, die beide in ${}a$ differenzierbar seien und wobei ${}g$ keine Nullstelle in ${}D$ besitze. Dann ist ${}f/g$ differenzierbar in ${}a$ mit

   ${}(f/g)'(a)={\frac {f'(a)g(a)-f(a)g'(a)}{(g(a))^{2}}}\,.$

Zur gelösten Aufgabe