Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/23/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}I_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, eine Intervallschachtelung in ${}\mathbb {R}$. Dann besteht der Durchschnitt

   $\bigcap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}$

   aus genau einem Punkt ${}x\in \mathbb {R}$.
2. Es seien ${}f=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}$ und ${}g=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}z^{n}$ Potenzreihen mit positiven Konvergenzradien und derart, dass es ein ${}\epsilon >0$ gibt, dass die dadurch definierten Funktionen

   $f,g\colon U{\left(0,\epsilon \right)}\longrightarrow {\mathbb {K} }$

   übereinstimmen. Dann ist ${}a_{n}=b_{n}$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$.
3. Es seien ${}f$ und ${}g$ in ${}a$ differenzierbar. Dann ist das Produkt ${}f\cdot g$ differenzierbar in ${}a$ mit

   ${}(f\cdot g)'(a)=f'(a)g(a)+f(a)g'(a)\,.$

Zur gelösten Aufgabe