Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/40/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine konvergente Folge in einem angeordneten Körper mit dem Grenzwert ${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x\neq 0$ und mit ${}x_{n}\neq 0$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$, Dann ist ${}{\left({\frac {1}{x_{n}}}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls konvergent mit

   ${}\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{x_{n}}}={\frac {1}{x}}\,.$

2. Für alle komplexen Zahlen ${}z$ mit ${}{|z|}<1$ konvergiert die Reihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }z^{k}$ absolut und es gilt

   ${}\sum _{k=0}^{\infty }z^{k}={\frac {1}{1-z}}\,.$

3. Es seien ${}f$ und ${}g$ in ${}a$ differenzierbar. Dann ist das Produkt ${}f\cdot g$ differenzierbar in ${}a$ mit

   ${}(f\cdot g)'(a)=f'(a)g(a)+f(a)g'(a)\,.$

Zur gelösten Aufgabe