Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/5/Aufgabe/Lösung

1. Es seien ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} },\,{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ reelle Folgen. Es gelte

   $x_{n}\leq y_{n}\leq z_{n}{\text{ für alle }}n\in \mathbb {N}$

   und ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$

   konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert ${}a$. Dann konvergiert auch ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen diesen Grenzwert ${}a$.
2. Für komplexe Zahlen ${}z,w\in {\mathbb {C} }$ gilt

   ${}\exp \left(z+w\right)=\exp z\cdot \exp w\,.$

3. Es sei ${}D\subseteq {\mathbb {K} }$ eine offene Menge, ${}a\in D$ ein Punkt und

   $f,g\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$

   Funktionen, die beide in ${}a$ differenzierbar seien und wobei ${}g$ keine Nullstelle in ${}D$ besitze. Dann ist ${}f/g$ differenzierbar in ${}a$ mit

   ${}(f/g)'(a)={\frac {f'(a)g(a)-f(a)g'(a)}{(g(a))^{2}}}\,.$

Zur gelösten Aufgabe