Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/8/Aufgabe/Lösung

1. Jede nichtleere nach oben beschränkte Teilmenge der reellen Zahlen besitzt ein Supremum in ${}\mathbb {R}$.
2. Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}n$ verschiedene Elemente ${}a_{1},\ldots ,a_{n}\in K$ und ${}n$ Elemente ${}b_{1},\ldots ,b_{n}\in K$ gegeben. Dann gibt es ein Polynom ${}P\in K[X]$ vom Grad ${}\leq n-1$ derart, dass ${}P(a_{i})=b_{i}$ für alle ${}i$ ist.
3. Es sei ${}b>a$ und seien

   $f,g\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$

   stetige, auf ${}]a,b[$ differenzierbare Funktionen mit

   ${}g'(x)\neq 0\,$

   für alle ${}x\in {]a,b[}$. Dann ist ${}g(b)\neq g(a)$ und es gibt ein ${}c\in {]a,b[}$ mit

   ${}{\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}={\frac {f'(c)}{g'(c)}}\,.$

Zur gelösten Aufgabe