Analysis 2/Gemischte Satzabfrage/14/Aufgabe/Lösung

Es sei $M$ ein nicht-leerer vollständiger metrischer Raum und
$f : M ⟶ M$
eine stark kontrahierende Abbildung. Dann besitzt $f$ genau einen Fixpunkt.
Es sei $I \subseteq ℝ$ ein offenes Intervall und es liege eine inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung der Form
${(\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \\ ⋮ \\ v_{n} \end{matrix})}^{'} = (\begin{matrix} a_{11} & \dots & \dots & a_{1 n} \\ 0 & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋱ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & \dots & 0 & a_{n n} \end{matrix}) (\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \\ ⋮ \\ v_{n} \end{matrix}) + (\begin{matrix} z_{1} \\ z_{2} \\ ⋮ \\ z_{n} \end{matrix})$

mit stetigen Funktionen $a_{i j} : I \to ℝ$ und $z_{i} : I \to ℝ$ und den Anfangsbedingungen

$v_{i} (t_{0}) = w_{i} \in ℝ für i = 1, \dots, n (t_{0} \in I)$

vor. Dann lässt sich diese Gleichung lösen, indem man sukzessive unter Verwendung der zuvor gefundenen Lösungen die inhomogenen linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen in einer Variablen, nämlich

${v_{n}}^{'} = a_{n n} (t) v_{n} + z_{n} (t) mit v_{n} (t_{0}) = w_{n},$

$v_{n^{'} - 1} = a_{n - 1 n - 1} (t) v_{n - 1} + a_{n - 1 n} (t) v_{n} (t) + z_{n - 1} (t) mit v_{n - 1} (t_{0}) = w_{n - 1},$

$v_{n^{'} - 2} = a_{n - 2 n - 2} (t) v_{n - 2} + a_{n - 2 n - 1} (t) v_{n - 1} (t) + a_{n - 2 n} (t) v_{n} (t) + z_{n - 2} (t) mit v_{n - 2} (t_{0}) = w_{n - 2},$

$⋮$

$v_{1^{'}} = a_{11} (t) v_{1} + a_{12} (t) v_{2} (t) + \dots + a_{1 n} (t) v_{n} (t) + z_{1} (t) mit v_{1} (t_{0}) = w_{1},$
löst.
Seien $V$ und $W$ endlichdimensionale reelle Vektorräume, sei $G \subseteq V$ offen und sei
$φ : G ⟶ W$

eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei $P \in G$ ein Punkt, in dem das totale Differential ${(D φ)}_{P}$ injektiv sei. Dann gibt es eine offene Umgebung $U$ , $P \in U \subseteq G$ ,
derart, dass $φ |_{U}$ injektiv ist.

Zur gelösten Aufgabe