Analytische Funktionen/Reelle Logarithmen/Merkblatt

Zu einer positiven reellen Zahl ${}a>0$ ist der Logarithmus zur Basis ${}a$, geschrieben ${}\log _{a}$, die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ${}x\mapsto a^{x}$ zur Basis ${}a$. Die Exponentialfunktion stiftet eine Bijektion ${}\mathbb {R} \to \mathbb {R} _{+}$und daher ist

$\log _{a}\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,y\longmapsto \log _{a}(y),$

eine Bijektion. Es gilt also nach Definition

$\log _{a}(a^{x})=x\,\,{\text{ und }}\,\,a^{\log _{a}(y)}=y.$

Ferner gelten

$\log _{a}(y\cdot z)=\log _{a}(y)+\log _{a}(z)\,\,{\text{ und }}\,\,\log _{a}(y^{u})=u\log _{a}(y)$

für ${}u\in \mathbb {R}$.

Der Logarithmus mit der Eulerschen Zahl ${}e$ als Basis wird natürlicher Logarithmus genannt und mit ${}\ln x$ bezeichnet. Zu verschiedenen Basen ${}a$ und ${}b$ gilt die Beziehung

${}\log _{a}(y)=\log _{a}(b^{\log _{b}(y)})=\log _{b}(y)\log _{a}(b)\,,$

sodass sich also die verschiedenen Logarithmen nur um einen festen Faktor unterscheiden. Die Logarithmen sind stetig differenzierbar mit Ableitung

$\ln '(y)={\frac {1}{y}}\,\,{\text{ und }}\,\,\log _{a}'(y)={\frac {1}{\ln(a)\cdot y}}.$

Für weitere Informationen siehe auch Logarithmus.