Die Kommutativität und die Assoziativität der beiden Verknüpfungen ist klar. Das neutrale Element des Maximums ist die
und das neutrale Element des Minimums ist
, da ja nur Elemente aus
vorkommen. Es bleibt also noch das Distributivgesetz zu zeigen, welches bei den gegebenen Verknüpfungen
(wir setzen das Maximum als Addition und das Minimum als Multiplikation an)
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![{\displaystyle {}\operatorname {min} (a,\operatorname {max} (b,c))=\operatorname {max} (\operatorname {min} (a,b),\operatorname {min} (a,c))\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fedb7d58e30f1dc23557e4007c7c89af704c5f8c)
bedeutet. Dies beweisen wir durch eine Fallunterscheidung. Da die Situation in
und
symmetrisch ist, können wir
annehmen. Bei
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![{\displaystyle {}a\leq b\leq c\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e181aa2619b78811fbde0e0b0f056f5751ba24e8)
ergibt sich links
und rechts ebenfalls
.
Bei
-
![{\displaystyle {}b\leq a\leq c\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52f47fc3f7194aba4003dd6b779ac6d1ad795eda)
ergibt sich links
-
![{\displaystyle {}\operatorname {min} (a,\operatorname {max} (b,c))=\operatorname {min} (a,c)=a\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24f1e790da59248511d83cac9128a4500cca3f66)
und rechts ebenfalls
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![{\displaystyle {}\operatorname {max} (\operatorname {min} (a,b),\operatorname {min} (a,c))=\operatorname {max} (b,a)=a\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65e5502275882aaa60d80fe1dda53564a2a61748)
Bei
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![{\displaystyle {}b\leq c\leq a\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5281c03fffc8474254d60ce26e6ae536e56a56fe)
ergibt sich links
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![{\displaystyle {}\operatorname {min} (a,\operatorname {max} (b,c))=\operatorname {min} (a,c)=c\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af1c44582f012222d5640740d5f7d01174a9eb04)
und rechts ebenfalls
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![{\displaystyle {}\operatorname {max} (\operatorname {min} (a,b),\operatorname {min} (a,c))=\operatorname {max} (b,c)=c\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38f2dcbba62594111629dcdc30dc5a405772a338)