Anfangswertproblem/1/Zweite Ordnung/y'' ist 3yy'+y^2/Geschwindigkeit ist 2/Potenzreihenansatz/Aufgabe/Lösung

Wir machen den Ansatz

y = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} t^{n},

aufgrund der Anfangswertbedingungen ist $a_{0} = 0$ und $a_{1} = 2$ . Es ist $y^{'} = \sum_{n = 1}^{\infty} n a_{n} t^{n - 1}$ und $y^{''} = \sum_{n = 2}^{\infty} n (n - 1) a_{n} t^{n - 2}$ . Aus der Gleichung

\sum_{n = 2}^{\infty} n (n - 1) a_{n} t^{n - 2} = 3 (\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} t^{n}) \cdot (\sum_{n = 1}^{\infty} n a_{n} t^{n - 1}) + {(\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} t^{n})}^{2}

lassen sich die Koeffizienten $a_{i}$ bestimmen.

Koeffizientenvergleich zu $t^{0}$ ergibt

2 a_{2} = 3 a_{0} a_{1} + a_{0}^{2} = 0,

also ist $a_{2} = 0$ .

Koeffizientenvergleich zu $t^{1}$ ergibt

6 a_{3} = 3 (a_{1} a_{1} + 2 a_{0} a_{2}) + 2 a_{0} a_{1} = 12,

also ist $a_{3} = 2$ .

Koeffizientenvergleich zu $t^{2}$ ergibt

12 a_{4} = 3 (a_{2} a_{1} + 2 a_{1} a_{2} + 3 a_{0} a_{3}) + 2 a_{0} a_{2} + a_{1}^{2} = a_{1}^{2} = 4,

also ist $a_{4} = \frac{1}{3}$ .

Daher ist

2 t + 2 t^{3} + \frac{1}{3} t^{4}

die Lösung des Anfangswertproblems bis zur Ordnung

4

.

Zur gelösten Aufgabe