Anfangswertproblem/1/Zweite Ordnung/y'' ist 3yy'+y^2/Geschwindigkeit ist 2/Potenzreihenansatz/Aufgabe/Lösung

Wir machen den Ansatz

$y=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}t^{n},$

aufgrund der Anfangswertbedingungen ist ${}a_{0}=0$ und ${}a_{1}=2$. Es ist ${}y'=\sum _{n=1}^{\infty }na_{n}t^{n-1}$ und ${}y^{\prime \prime }=\sum _{n=2}^{\infty }n(n-1)a_{n}t^{n-2}$. Aus der Gleichung

${}\sum _{n=2}^{\infty }n(n-1)a_{n}t^{n-2}=3{\left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}t^{n}\right)}\cdot {\left(\sum _{n=1}^{\infty }na_{n}t^{n-1}\right)}+{\left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}t^{n}\right)}^{2}\,$

lassen sich die Koeffizienten ${}a_{i}$ bestimmen.

Koeffizientenvergleich zu ${}t^{0}$ ergibt

${}2a_{2}=3a_{0}a_{1}+a_{0}^{2}=0\,,$

also ist ${}a_{2}=0$.

Koeffizientenvergleich zu ${}t^{1}$ ergibt

${}6a_{3}=3{\left(a_{1}a_{1}+2a_{0}a_{2}\right)}+2a_{0}a_{1}=12\,,$

also ist ${}a_{3}=2$.

Koeffizientenvergleich zu ${}t^{2}$ ergibt

${}12a_{4}=3{\left(a_{2}a_{1}+2a_{1}a_{2}+3a_{0}a_{3}\right)}+2a_{0}a_{2}+a_{1}^{2}=a_{1}^{2}=4\,,$

also ist ${}a_{4}={\frac {1}{3}}$.

Daher ist

$2t+2t^{3}+{\frac {1}{3}}t^{4}$

die Lösung des Anfangswertproblems bis zur Ordnung ${}4$.

Zur gelösten Aufgabe