Anfangswertproblem/1/y' ist ty+1/Potenzreihenansatz/Aufgabe/Lösung

Der Potenzreihenansatz

${}y(t)=a_{0}+a_{1}t+a_{2}t^{2}+a_{3}t^{3}+a_{4}t^{4}+a_{5}t^{5}+\ldots \,$

führt eingesetzt in die Differentialgleichung auf

${}a_{1}+2a_{2}t+3a_{3}t^{2}+4a_{4}t^{3}+5a_{5}t^{4}+6a_{6}t^{5}+\ldots =1+a_{0}t+a_{1}t^{2}+a_{2}t^{3}+a_{3}t^{4}+a_{4}t^{5}+a_{5}t^{6}+\ldots \,.$

Aufgrund der Anfangsbedingung ist

${}a_{0}=0\,.$

Der Vergleich des konstanten Termes führt auf

${}a_{1}=1\,.$

Der Vergleich des linearen Termes führt auf

${}2a_{2}=a_{0}=0\,,$

also ${}a_{2}=0$. Der Vergleich des quadratischen Termes führt auf

${}3a_{3}=a_{1}\,,$

also ${}a_{3}={\frac {1}{3}}$. Der Vergleich des Termes zu ${}t^{3}$ führt auf

${}4a_{4}=a_{2}=0\,,$

also ${}a_{4}=0$. Der Vergleich des Termes zu ${}t^{4}$ führt auf

${}5a_{5}=a_{3}\,,$

also ${}a_{5}={\frac {1}{15}}$. Somit ist die polynomiale Approximation bis zur Ordnung ${}5$ der Lösung gleih

$t+{\frac {1}{3}}t^{3}+{\frac {1}{15}}t^{5}.$

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