Anfangswertproblem/Getrennte Variablen/1 durch t^2y^3/Aufgabe/Lösung

Es liegen getrennte Variablen mit  $g(t)=\frac{1}{t^2}$  und  $h(y)=\frac{1}{y^3}$  vor. Die Stammfunktionen von $\frac{1}{t^2}$ sind $-t^{-1}+c$ mit  $c\in ℝ$  und eine Stammfunktion von $y^3$ ist $\frac{1}{4}{y}^4$. Diese ist für positive $y$ bijektiv, die Umkehrfunktion ergibt sich aus

$z=\frac{1}{4}{y}^4$

zu

$y=\sqrt{2}\cdot \sqrt[4]{z}.$

Die Lösungen haben also die Form

$y(t)=\sqrt{2}\cdot \sqrt[4]{-t^{-1}+c}.$

Die Anfangsbedingung führt auf

$y(1)=\sqrt{2}\cdot \sqrt[4]{-1+c}=4,$

also

$\sqrt[4]{-1+c}=2\sqrt{2}$

und somit

$-1+c=64,$

also

$c=65.$

Die Lösung des Anfangswertproblems ist also

$y(t)=\sqrt{2}\cdot \sqrt[4]{-t^{-1}+65}.$

Zur gelösten Aufgabe