Anfangswertproblem/Linear/-2 7 0 3/-4 6/Aufgabe/Lösung

Aus der zweiten Zeile folgt sofort

${}v_{2}(t)=ae^{3t}\,,$

wobei die Anfangsbedingung ${}v_{2}(0)=6$ durch ${}a=6$ erfüllt wird. Für ${}v_{1}$ ergibt sich daraus die inhomogene lineare Differentialgleichung in einer Variablen,

$v_{1}'=-2v_{1}+42e^{3t}{\text{ mit }}v_{1}(0)=-4.$

Die zugehörige homogene lineare Gleichung besitzt die Lösungen ${}ce^{-2t}$. Mittels Variation der Konstanten, also dem Ansatz

${}v_{1}(t)=c(t)e^{-2t}\,,$

ergibt sich die Bedingung

${}c'(t)=42e^{2t}\cdot e^{3t}=42e^{5t}\,.$

Also ist ${}c(t)={\frac {42}{5}}e^{5t}+b$ mit einer Konstanten ${}b\in \mathbb {R}$. Aus

${}{\frac {42}{5}}e^{0}+b=-4\,$

folgt ${}b=-4-{\frac {42}{5}}=-{\frac {62}{5}}$. Die Lösung ist also

${}{\begin{pmatrix}v_{1}(t)\\v_{2}(t)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\left({\frac {42}{5}}e^{5t}-{\frac {62}{5}}\right)}e^{-2t}\\6e^{3t}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {42}{5}}e^{3t}-{\frac {62}{5}}e^{-2t}\\6e^{3t}\end{pmatrix}}\,.$

Zur gelösten Aufgabe