Anfangswertproblem/Potenzreihenansatz/y'' ist y'^2+2y/0 1/Aufgabe/Lösung

Wir machen den Ansatz

$y=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}t^{n},$

aufgrund der Anfangswertbedingungen ist ${}a_{0}=0$ und ${}a_{1}=1$. Es ist ${}y'=\sum _{n=1}^{\infty }na_{n}t^{n-1}$ und ${}y^{\prime \prime }=\sum _{n=2}^{\infty }n(n-1)a_{n}t^{n-2}$. Aus der Gleichung

${}\sum _{n=2}^{\infty }n(n-1)a_{n}t^{n-2}={\left(\sum _{n=1}^{\infty }na_{n}t^{n-1}\right)}^{2}+2{\left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}t^{n}\right)}\,$

lassen sich die Koeffizienten ${}a_{i}$ bestimmen.

Koeffizientenvergleich zu ${}t^{0}$ ergibt

${}2a_{2}=a_{1}^{2}+2a_{0}=1\,,$

also ist ${}a_{2}={\frac {1}{2}}$.

Koeffizientenvergleich zu ${}t^{1}$ ergibt

${}6a_{3}=4a_{1}a_{2}+2a_{1}=4\,,$

also ist ${}a_{3}={\frac {2}{3}}$.

Koeffizientenvergleich zu ${}t^{2}$ ergibt

${}12a_{4}=4a_{2}^{2}+6a_{1}a_{3}+2a_{2}=1+4+1=6\,,$

also ist ${}a_{4}={\frac {1}{2}}$.

Daher ist

$t+{\frac {1}{2}}t^{2}+{\frac {2}{3}}t^{3}+{\frac {1}{2}}t^{4}$

die Lösung des Anfangswertproblems bis zur Ordnung ${}4$.

Zur gelösten Aufgabe