Angeordneter Körper/Abbildung x nach min(x,1/x)/Aufgabe

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Man untersuche die Abbildung

$\varphi \colon K\longrightarrow K,\,x\longmapsto \varphi (x),$

mit

$\varphi (x)={\begin{cases}\operatorname {min} \left(x,\,x^{-1}\right){\text{ für }}x>0\,,\\0{\text{ für }}x=0\,,\\\operatorname {max} \left(x,\,x^{-1}\right){\text{ für }}x<0\,.\end{cases}}$

Mögliche Fragestellungen bzw. Stichpunkte sind

• Ist die Abbildung injektiv, surjektiv?
• Was ist das Bild der Abbildung?
• Wie sehen die Urbilder aus?
• Was kann man über die Hintereinanderschaltungen ${}\varphi ^{n}$ sagen?
• Was kann man über das Verhalten der Abbildung bezüglich der Addition und der Multiplikation sagen, also zu ${}\varphi (x+y)$ und ${}\varphi (xy)$?
• Gibt es einen Zusammenhang zum Betrag?
• Maximum und Minimum der Funktion, Stetigkeit, Differenzierbarkeit.
• Skizze.
• Asymptotisches Verhalten.
• Symmetrien.

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