Angeordneter Körper/Beschränkte, nicht konvergente Folge/Alternierend/1/Beispiel

Es sei $K$ ein angeordneter Körper. Dann ist die alternierende Folge

x_{n} = (- 1)^{n}

beschränkt, aber nicht konvergent. Die Beschränktheit ist klar, da ja nur die beiden Werte $1$ und $- 1$ vorkommen. Konvergenz liegt aber nicht vor. Nehmen wir an, dass $x \geq 0$ der Grenzwert sei. Dann gilt für positives $ϵ < 1$ und jedes ungerade $n$ die Beziehung

| x_{n} - x | = 1 + x \geq 1 > ϵ,

sodass es Folgenwerte außerhalb dieser $ϵ$ -Umgebung gibt. Analog kann man einen negativ angenommenen Grenzwert zum Widerspruch führen.