Angeordneter Körper/Beschränkte, nicht konvergente Folge/Beispiel

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und sei $c\in K$, $c\ne 0$. Dann ist die alternierende Folge

$x_n=(-1{)}^{n}c$

beschränkt, aber nicht konvergent. Die Beschränktheit folgt direkt aus

$|x_n|=|(-1{)}^n||c|=|c|.$

Konvergenz liegt aber nicht vor. Nehmen wir an, dass  $x\ge 0$  der Grenzwert sei. Dann gilt für positives  $ϵ<|c|$  und jedes ungerade $n$ die Beziehung

$|x_n-x|=c+x\ge c>ϵ,$

sodass es Folgenwerte außerhalb dieser $ϵ$-Umgebung gibt. Analog kann man einen negativ angenommenen Grenzwert zum Widerspruch führen.