Angeordneter Körper/Beschränkte, nicht konvergente Folge/Beispiel

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und sei ${}c\in K$, ${}c\neq 0$. Dann ist die alternierende Folge

${}x_{n}=(-1)^{n}c\,$

beschränkt, aber nicht konvergent. Die Beschränktheit folgt direkt aus

${}\vert {x_{n}}\vert =\vert {(-1)^{n}}\vert \vert {c}\vert =\vert {c}\vert \,.$

Konvergenz liegt aber nicht vor. Nehmen wir an, dass ${}x\geq 0$ der Grenzwert sei. Dann gilt für positives ${}\epsilon <\vert {c}\vert$ und jedes ungerade ${}n$ die Beziehung

${}\vert {x_{n}-x}\vert =c+x\geq c>\epsilon \,,$

sodass es Folgenwerte außerhalb dieser ${}\epsilon$-Umgebung gibt. Analog kann man einen negativ angenommen Grenzwert zum Widerspruch führen.