Angeordneter Körper/Betragsungleichung/Intervalle/2/Aufgabe/Lösung

Wir analysieren die Ungleichung

$|7x-5|>|6x-7|$

abhängig davon, ob die Beträge positiv oder negativ zu nehmen sind. Es ist

$7x-5\ge 0$

genau dann, wenn  $x\ge \frac{5}{7}$  ist, und es ist

$6x-7\ge 0$

genau dann, wenn  $x\ge \frac{7}{6}$  ist. Wegen  $\frac{5}{7}<\frac{7}{6}$  führt dies auf die folgenden Fälle.

1. $x<\frac{5}{7}.$

   Dann muss man die Bedingung

   $-(7x-5)>-(6x-7)$

   betrachten, also

   $7x-5<6x-7$

   bzw.

   $x<-2.$

   Daher gehört $\{x\in \mathbb{Q}\mid x<-2\}$ zur Lösungsmenge.

2. $\frac{5}{7}\le x\le \frac{7}{6}.$

   Dann muss man die Bedingung

   $7x-5>-(6x-7)$

   betrachten, also

   $7x-5>-6x+7$

   bzw.

   $13x>12,$

   also

   $x>\frac{12}{13}.$

   Wegen

   $\frac{5}{7}<\frac{12}{13}<\frac{7}{6}$

   führt dies auf die Lösungen $\{x\in \mathbb{Q}\mid \frac{12}{13}<x\le \frac{7}{6}\}$.

3. $x>\frac{7}{6}.$

   Dann muss man die Bedingung

   $7x-5>6x-7$

   betrachten, die auf

   $x>-2,$

   führt, was in diesem Fall automatisch erfüllt ist. Daher gehört $\{x\in \mathbb{Q}\mid x\ge \frac{7}{6}\}$ zur Lösungsmenge.

Die gesamte Lösungsmenge besteht daher aus allen  $x\in \mathbb{Q}$  mit  $x<-2$  oder

 $x>\frac{12}{13}$. 

Zur gelösten Aufgabe