Angeordneter Körper/Drei Produktgleichungen/Lösungen/Aufgabe/Lösung

Wenn

${}a=0\,$

ist, so sind wegen der ersten und der dritten Gleichung auch ${}b$ und ${}c$ gleich ${}0$. Dies ergibt die Lösung ${}(0,0,0)$. Es kann ansonsten nur noch Lösungen geben, wo alle Zahlen ungleich ${}0$ sind. Wir setzen die erste Gleichung  ${}c=a\cdot b$  in die zweite Gleichung ein und erhalten

${}b\cdot (a\cdot b)=a\,.$

Daraus folgt wegen  ${}a\neq 0$  durch Kürzen

${}b^{2}=1\,.$

Somit ist  ${}b=1$  oder  ${}b=-1$.  Entsprechende Überlegungen führen dazu, dass auch ${}a$ und ${}c$ nur ${}1$ oder ${}-1$ sein können. Bei  ${}b=1$  folgt mit der ersten Gleichung

${}a=c\,.$

Dies führt zu den Lösungen ${}(1,1,1)$ und ${}(-1,1,-1)$ (wobei letzteres wegen  ${}(-1)^{2}=1$  in der Tat eine Lösung ist). Bei  ${}b=-1$  ist

${}a=-c\,,$

was zu den Lösungen

$(1,-1,-1)$

und

$(-1,-1,1)$

führt.

Zur gelösten Aufgabe