Wenn
-
![{\displaystyle {}a=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8987c7fe5a8fe65b0d660da9d965a9df5b989b18)
ist, so sind wegen der ersten und der dritten Gleichung auch
und
gleich
. Dies ergibt die Lösung
. Es kann ansonsten nur noch Lösungen geben, wo alle Zahlen ungleich
sind. Wir setzen die erste Gleichung
in die zweite Gleichung ein und erhalten
-
![{\displaystyle {}b\cdot (a\cdot b)=a\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff23b0514a686e45712a4be5ad355cbbd5577645)
Daraus folgt wegen
durch Kürzen
-
![{\displaystyle {}b^{2}=1\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c1c151a9d03d491bb9829a942f5b6b15eb1609a)
Somit ist
oder
.
Entsprechende Überlegungen führen dazu, dass auch
und
nur
oder
sein können. Bei
folgt mit der ersten Gleichung
-
![{\displaystyle {}a=c\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56ee6bba75f82feb6d473b0d98bf51f174fff69d)
Dies führt zu den Lösungen
und
(wobei letzteres wegen
in der Tat eine Lösung ist).
Bei
ist
-
![{\displaystyle {}a=-c\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cc528bc6ca5679bff26d94b97e66c76c713e233)
was zu den Lösungen
-
und
-
führt.