Angeordneter Körper/Konvergente Folge/Beschränkt/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${\left(x_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ die konvergente Folge mit dem Limes  $x\in K$  und es sei ein  $ϵ>0$  gewählt. Aufgrund der Konvergenz gibt es ein $n_0$ derart, dass

$|x_n-x|\le ϵ\text{ für alle }n\ge n_0.$

Dann ist insbesondere

$|x_n|\le |x|+|x-x_n|\le |x|+ϵ\text{ für alle }n\ge n_0.$

Unterhalb von $n_0$ gibt es nur endlich viele Zahlen, sodass das Maximum

$B:=\underset{n<n_0}{max}\{|x_n|,|x|+ϵ\}$

wohldefiniert ist. Daher ist $B$ eine obere Schranke und $-B$ eine untere Schranke für $\{x_n\mid n\in \mathbb{N}\}$.

Zur bewiesenen Aussage