Angeordneter Körper/Konvergente Folgen/Rechenregeln/Fakt

Rechenregeln für konvergente Folgen

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und es seien ${}\left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}\left(y_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ konvergente Folgen in ${}K$. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Die Folge ${}\left(x_{n}+y_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ ist konvergent und es gilt

   ${}\lim _{n\rightarrow \infty }\left(x_{n}+y_{n}\right)=\left(\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}\right)+\left(\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}\right)\,.$

2. Die Folge ${}\left(x_{n}\cdot y_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ ist konvergent und es gilt

   ${}\lim _{n\rightarrow \infty }\left(x_{n}\cdot y_{n}\right)=\left(\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}\right)\cdot \left(\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}\right)\,.$

3. Für  ${}c\in K$  gilt

   ${}\lim _{n\rightarrow \infty }cx_{n}=c\left(\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}\right)\,.$

4. Es sei  ${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x\neq 0$  und  ${}x_{n}\neq 0$  für alle  ${}n\in \mathbb {N}$.  Dann ist ${}\left({\frac {1}{x_{n}}}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls konvergent mit

   ${}\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{x_{n}}}={\frac {1}{x}}\,.$

5. Es sei  ${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x\neq 0$  und  ${}x_{n}\neq 0$  für alle  ${}n\in \mathbb {N}$.  Dann ist ${}\left({\frac {y_{n}}{x_{n}}}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls konvergent mit

   ${}\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {y_{n}}{x_{n}}}={\frac {\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}}{x}}\,.$

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