Angeordneter Körper/Monotone Bijektion/Umkehrfunktion/Aufgabe/Lösung

Wegen der Symmetrie der Situation muss man für beide Aussagen nur die Hinrichtung zeigen.

1. Es sei ${}f$ streng wachsend und ${}u>v$ aus ${}K$. Dann gibt es eindeutig bestimmte Elemente ${}x,y\in K$ mit ${}f(x)=u$ und ${}f(y)=v$. Für diese gilt

   ${}x>y\,,$

   da sich andernfalls direkt ein Widerspruch zum strengen Wachstum von ${}f$ ergibt. Somit ist

   ${}f^{-1}(u)=x>y=f^{-1}(v)\,$

   und ${}f^{-1}$ ist ebenfalls streng wachsend.

2. Es sei ${}f$ streng fallend und ${}u>v$ aus ${}K$. Dann gibt es eindeutig bestimmte Elemente ${}x,y\in K$ mit ${}f(x)=u$ und ${}f(y)=v$. Für diese gilt

   ${}x<y\,,$

   da sich andernfalls, aus ${}x\geq y$ wegen der Voraussetzung an ${}f$, streng fallend zu sein, direkt der Widerspruch ${}u=f(x)\leq f(y)=v$ ergibt. Somit ist

   ${}f^{-1}(u)=x<y=f^{-1}(v)\,$

   und ${}f^{-1}$ ist ebenfalls streng fallend.

Zur gelösten Aufgabe