Angeordneter Körper/Summe von Quadratwurzeln/Vergleich/2/Aufgabe/Lösung

Wir fragen uns, ob

${}{\sqrt {3}}+{\sqrt {7}}<2+{\sqrt {6}}\,$

ist. Dies ist, da das Quadrieren von positiven Zahlen eine Äquivalenzumformung für die Größenbeziehung ist, äquivalent zu

${}3+7+2{\sqrt {21}}={\left({\sqrt {3}}+{\sqrt {7}}\right)}^{2}<{\left(2+{\sqrt {6}}\right)}^{2}=4+6+4{\sqrt {6}}\,.$

Dies ist durch Subtraktion mit ${}10$ äquivalent zu

${}2{\sqrt {21}}<4{\sqrt {6}}\,$

bzw. zu

${}{\sqrt {21}}<2{\sqrt {6}}\,.$

Mit erneutem Quadrieren ist dies äquivalent zu

${}21<4\cdot 6=24\,,$

was stimmt. Also ist

${}{\sqrt {3}}+{\sqrt {7}}<2+{\sqrt {6}}\,.$

Zur gelösten Aufgabe