Wir fragen uns, ob
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![{\displaystyle {}{\sqrt {3}}+{\sqrt {10}}>{\sqrt {5}}+{\sqrt {7}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0764a1ed9ef3c3066e7ff1d8f6feb07b15307237)
ist. Dies ist, da das Quadrieren von positiven Zahlen eine Äquivalenzumformung für die Größenbeziehung ist, äquivalent zu
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![{\displaystyle {}3+10+2{\sqrt {30}}={\left({\sqrt {3}}+{\sqrt {10}}\right)}^{2}>{\left({\sqrt {5}}+{\sqrt {7}}\right)}^{2}=5+7+2{\sqrt {35}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/377c335a6dcdc4d592970339b4156c8e1d89e95f)
Dies ist durch Subtraktion mit
äquivalent zu
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![{\displaystyle {}1+2{\sqrt {30}}>2{\sqrt {35}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e418fc107a0fd521484a3b1bec673a1d06500253)
Durch Quadrieren ist dies äquivalent zu
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![{\displaystyle {}1+4\cdot 30+4\cdot {\sqrt {30}}={\left(1+2{\sqrt {30}}\right)}^{2}>4\cdot 35=140\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd4a2fe88afd8dc2fb5cd73f9f4cc94e8af28ac8)
Dies ist äquivalent zu
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![{\displaystyle {}4{\sqrt {30}}>19\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3804419a07314d80b383a19fab7ec21a1b1b066)
Quadrieren liefert
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![{\displaystyle {}480=16\cdot 30>19^{2}=361\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9114749cdf97bebd25b3e93608844f27b630fd2)
was stimmt. Also ist
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![{\displaystyle {}{\sqrt {3}}+{\sqrt {10}}>{\sqrt {5}}+{\sqrt {7}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/791de38d2121511cd3b52fc464f2503fbc551d28)