Angeordneter Körper/x^2+(x+1)^2 \geq (x+2)^2 für x \geq 3/Aufgabe/Lösung

Wir rechnen die beiden Seiten aus, die zu zeigende Abschätzung bedeutet dann

{}2x^{2}+2x+1\geq x^{2}+4x+4\,.

In ${}K$ erhalten sich bei beidseitiger Addition die Abschätzungen, sodass die Abschätzung äquivalent zu

{}x^{2}-2x-3\geq 0\,

ist. Wir schreiben die linke Seite als

{}x^{2}-2x-3=x^{2}-2x+1-1-3=(x-1)^{2}-4\,.

Bei ${}x\geq 3$ ist ${}x-1\geq 2$ und daher

{}(x-1)^{2}\geq 2(x-1)\geq 2^{2}=4\,,

also gilt für ${}x\geq 3$ die Abschätzung

{}(x-1)^{2}-4\geq 0\,

und damit die ursprüngliche Abschätzung.