Archimedisch angeordneter Körper/Dezimalbrüche/Folge/Beidseitig unendlich/Aufgabe/Lösung

1. Ähnlich wie bei Dezimalbruchfolgen sei die Folge dadurch gegeben, dass nur die Ziffern bis zur $n$-ten Vorkommaziffer und bis zur $n$-ten Nachkommaziffer berücksichtigt werden, also

   $x_n=\sum _{i=-n}^n{z}_{i}10^i.$

2. Es ist

   $x_{n+1}=x_n+z_{n+1}10^{n+1}+z_{-n-1}10^{-n-1}.$

3. Die Folge ist genau dann eine Cauchy-Folge, wenn vor dem Komma alle Ziffern $z_n$ ab einer bestimmten Stelle $n_0$ gleich $0$ sind. In diesem Fall liegt (ab dem $n_0$-ten Folgenglied) eine gewöhnliche Dezimalbruchfolge vor, und diese ist nach Fakt eine Cauchy-Folge. Wenn hingegen unendlich viele Vorkommazifferen ungleich $0$ sind, so ist die Folge unbeschränkt, und kann nach Fakt keine Cauchy-Folge sein.

Zur gelösten Aufgabe