Astroide/Kompakt/x-Achse kein Tangentialraum/Beispiel

Wir betrachten

${}f(x,y)={\left(x^{2}+y^{2}-1\right)}^{3}+27x^{2}y^{2}\,$

und das zugehörige Nullstellengebilde, also

${}Z={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid f(x,y)=0\right\}}\,.$

Dieses nennt man eine Astroide. Dieses Nullstellengebilde liegt innerhalb der abgeschlossenen Kreisscheibe und ist daher kompakt. Die partiellen Ableitungen sind

${}{\frac {\partial f}{\partial x}}=3{\left(x^{2}+y^{2}-1\right)}^{2}\cdot 2x+54xy^{2}=6x{\left({\left(x^{2}+y^{2}-1\right)}^{2}+9y^{2}\right)}\,$

und

${}{\frac {\partial f}{\partial y}}=3{\left(x^{2}+y^{2}-1\right)}^{2}\cdot 2y+54x^{2}y=6y{\left({\left(x^{2}+y^{2}-1\right)}^{2}+9x^{2}\right)}\,.$

Beide partiellen Ableitungen verschwinden genau für die vier Punkte

$(0,1),\,(0,-1),\,(1,0),\,(-1,0),$

die alle zu ${}Z$ gehören. Die ${}x$-Achse ${}\mathbb {R} (1,0)$ tritt nicht als Tangente von ${}Z$ auf. Die zweite partielle Ableitung verschwindet nämlich nur bei ${}y=0$ oder ${}(x,y)=(0,\pm 1)$, in diesen Fällen verschwinden aber bereits beide partielle Ableitungen.