Aussagenlogik/Ableitungsbeziehung/Kettenschlussregel/Aufgabe/Lösung

Die Voraussetzung bedeutet, dass es Ausdrücke ${}\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{m},\beta _{1},\ldots ,\beta _{n}\in \Gamma$ mit

$\vdash \alpha _{1}\wedge \ldots \wedge \alpha _{m}\rightarrow {\left(\alpha \rightarrow \beta \right)}$

und mit

$\vdash \beta _{1}\wedge \ldots \wedge \beta _{n}\rightarrow {\left(\beta \rightarrow \gamma \right)}$

gibt. Daraus ergibt sich mit Hilfe (der Regelversion) von Fakt  (2)

$\vdash \alpha _{1}\wedge \ldots \wedge \alpha _{m}\wedge \beta _{1}\wedge \ldots \wedge \beta _{n}\rightarrow {\left(\alpha \rightarrow \beta \right)}\wedge {\left(\beta \rightarrow \gamma \right)}.$

Es gilt die Tautologie (Axiom  (2),)

$\vdash {\left(\alpha \rightarrow \beta \right)}\wedge {\left(\beta \rightarrow \gamma \right)}\rightarrow {\left(\alpha \rightarrow \gamma \right)}.$

Aus der Regelversion dieses Axioms ergibt sich

$\vdash \alpha _{1}\wedge \ldots \wedge \alpha _{m}\wedge \beta _{1}\wedge \ldots \wedge \beta _{n}\rightarrow {\left(\alpha \rightarrow \gamma \right)}.$

Dies bedeutet ${}\Gamma \vdash \alpha \rightarrow \gamma$.

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