Aussagenlogik/Erste Stufe/Identität/Syntaktische Tautologien/Zugehörige Schlussregeln/Bemerkung

Die aussagenlogischen Axiome der Form ${}\vdash \alpha \rightarrow \beta$ führen zu entsprechenden Schlussregeln, d.h. Vorschriften, wie man aus (schon etablierten) syntaktischen Tautologien neue Tautologien erhält. Wir gehen unter diesem Gesichtspunkt die Axiome durch.

Aus ${}\vdash \alpha$ folgt ${}\vdash \beta \rightarrow \alpha$.

Dies ergibt sich aus der Voraussetzung ${}\vdash \alpha$ aus ${}\vdash \alpha \rightarrow (\beta \rightarrow \alpha )$ und dem Modus ponens.

Aus ${}\vdash \alpha \wedge \beta$ folgt ${}\vdash \alpha$ (und ebenso $\vdash \beta$).

Dies ergibt sich aus ${}\vdash \alpha \wedge \beta \rightarrow \alpha$ nach Fakt und der Voraussetzung ${}\vdash \alpha \wedge \beta$ mittels Modus ponens. Umgekehrt gilt die sogenannte Konjunktionsregel, d.h. aus ${}\vdash \alpha$ und ${}\vdash \beta$ folgt auch ${}\vdash \alpha \wedge \beta$. Dies ergibt sich aus

$\vdash \alpha \rightarrow (\beta \rightarrow \alpha \wedge \beta )$

(was aus den Axiomen folgt, siehe Aufgabe) aus den Voraussetzungen durch eine zweifache Anwendung des Modus ponens.

Aus ${}\vdash \alpha \rightarrow \beta$ und ${}\vdash \beta \rightarrow \gamma$ ergibt sich ${}\vdash \alpha \rightarrow \gamma$. Diese Regel heißt Kettenschlussregel. Nach der obigen abgeleiteten Konjunktionsregel folgt aus den Voraussetzungen direkt ${}\vdash (\alpha \rightarrow \beta )\wedge (\beta \rightarrow \gamma )$ und daraus und dem Kettenschlussaxiom mit dem Modus ponens ${}\vdash \alpha \rightarrow \gamma$.