Aussagenlogik/Syntaktische Tautologien/Implikation, Negation, Konjunktion/Axiomatik/Weitere Tautologien/Mit Negation/Fakt/Beweis

Beweis

1. Die Fallunterscheidungstautologie liefert

   $⊢(\alpha \to \alpha )\wedge (\mathrm{\neg }\alpha \to \alpha )\to \alpha .$

   Aus (Fakt)

   $⊢\alpha \to \alpha$

   ergibt sich daraus die Behauptung.
   

2. Nach Axiom  (3) gilt

   $⊢(\mathrm{\neg }\beta \to \mathrm{\neg }\alpha )\wedge (\mathrm{\neg }\beta \to \alpha )\to (\mathrm{\neg }\beta \to \mathrm{\neg }\alpha \wedge \alpha )$

   und nach Axiom  (5) gilt

   $⊢\mathrm{\neg }\alpha \wedge \alpha \to \beta .$

   Nach Fakt  (1) folgt

   $⊢(\mathrm{\neg }\beta \to \mathrm{\neg }\alpha )\wedge (\mathrm{\neg }\beta \to \alpha )\to (\mathrm{\neg }\beta \to \beta ),$

   woraus nach Teil (1) die Behauptung mit der Kettenschlussregel folgt.
   

3. Nach Axiom  (1) ist

   $⊢\mathrm{\neg }\mathrm{\neg }\alpha \to (\alpha \to \mathrm{\neg }\mathrm{\neg }\alpha ).$

   Nach Axiom  (5) ist

   $⊢\mathrm{\neg }\alpha \wedge \alpha \to \mathrm{\neg }\mathrm{\neg }\alpha ,$

   was wir mit Axiom  (4) zu

   $⊢\mathrm{\neg }\alpha \to (\alpha \to \mathrm{\neg }\mathrm{\neg }\alpha ),$

   umformulieren können. Daraus ergibt sich

   $⊢\alpha \to \mathrm{\neg }\mathrm{\neg }\alpha$

   mit der Fallunterscheidungsregel.
   

4. Nach Axiom  (1) ist

   $⊢\alpha \to (\mathrm{\neg }\mathrm{\neg }\alpha \to \alpha ).$

   Nach Axiom  (5) ist

   $⊢\mathrm{\neg }\alpha \wedge \mathrm{\neg }\mathrm{\neg }\alpha \to \alpha ,$

   was wir zu

   $⊢\mathrm{\neg }\alpha \to (\mathrm{\neg }\mathrm{\neg }\alpha \to \alpha ),$

   umformulieren können. Daraus ergibt sich

   $⊢\mathrm{\neg }\mathrm{\neg }\alpha \to \alpha$

   mit der Fallunterscheidungsregel.
   

5. Es ist nach Axiom  (1)

   $⊢\mathrm{\neg }\alpha \to (\mathrm{\neg }\beta \to \mathrm{\neg }\alpha )$

   und damit auch

   $⊢\mathrm{\neg }\alpha \to ((\alpha \to \beta )\to (\mathrm{\neg }\beta \to \mathrm{\neg }\alpha )).$

   Ferner ist nach einer Variante von Axiom  (5)

   $⊢\beta \to (\mathrm{\neg }\beta \to \mathrm{\neg }\alpha ).$

   Nach Fakt ist

   $⊢\alpha \to ((\alpha \to \beta )\to \beta ),$

   woraus sich

   $⊢\alpha \to ((\alpha \to \beta )\to (\mathrm{\neg }\beta \to \mathrm{\neg }\alpha ))$

   ergibt. Mit der Fallunterscheidungsregel folgt die Behauptung.
   

6. Dies folgt aus (3), (4) und (5).
   

Zur bewiesenen Aussage