Aussagenlogik/Syntaktische Tautologien/Implikation, Negation, Konjunktion/Axiomatik/Weitere Tautologien/Mit Negation/Fakt/Beweis

Beweis

1. Die Fallunterscheidungstautologie liefert

   $\vdash (\alpha \rightarrow \alpha )\wedge (\neg \alpha \rightarrow \alpha )\rightarrow \alpha .$

   Aus (Fakt)

   $\vdash \alpha \rightarrow \alpha$

   ergibt sich daraus die Behauptung.
   

2. Nach Axiom  (3) gilt

   $\vdash (\neg \beta \rightarrow \neg \alpha )\wedge (\neg \beta \rightarrow \alpha )\rightarrow (\neg \beta \rightarrow \neg \alpha \wedge \alpha )$

   und nach Axiom  (5) gilt

   $\vdash \neg \alpha \wedge \alpha \rightarrow \beta .$

   Nach Fakt  (1) folgt

   $\vdash (\neg \beta \rightarrow \neg \alpha )\wedge (\neg \beta \rightarrow \alpha )\rightarrow (\neg \beta \rightarrow \beta ),$

   woraus nach Teil (1) die Behauptung mit der Kettenschlussregel folgt.
   

3. Nach Axiom  (1) ist

   $\vdash \neg \neg \alpha \rightarrow (\alpha \rightarrow \neg \neg \alpha ).$

   Nach Axiom  (5) ist

   $\vdash \neg \alpha \wedge \alpha \rightarrow \neg \neg \alpha ,$

   was wir mit Axiom  (4) zu

   $\vdash \neg \alpha \rightarrow (\alpha \rightarrow \neg \neg \alpha ),$

   umformulieren können. Daraus ergibt sich

   $\vdash \alpha \rightarrow \neg \neg \alpha$

   mit der Fallunterscheidungsregel.
   

4. Nach Axiom  (1) ist

   $\vdash \alpha \rightarrow (\neg \neg \alpha \rightarrow \alpha ).$

   Nach Axiom  (5) ist

   $\vdash \neg \alpha \wedge \neg \neg \alpha \rightarrow \alpha ,$

   was wir zu

   $\vdash \neg \alpha \rightarrow (\neg \neg \alpha \rightarrow \alpha ),$

   umformulieren können. Daraus ergibt sich

   $\vdash \neg \neg \alpha \rightarrow \alpha$

   mit der Fallunterscheidungsregel.
   

5. Es ist nach Axiom  (1)

   $\vdash \neg \alpha \rightarrow (\neg \beta \rightarrow \neg \alpha )$

   und damit auch

   $\vdash \neg \alpha \rightarrow ((\alpha \rightarrow \beta )\rightarrow (\neg \beta \rightarrow \neg \alpha )).$

   Ferner ist nach einer Variante von Axiom  (5)

   $\vdash \beta \rightarrow (\neg \beta \rightarrow \neg \alpha ).$

   Nach Fakt ist

   $\vdash \alpha \rightarrow ((\alpha \rightarrow \beta )\rightarrow \beta ),$

   woraus sich

   $\vdash \alpha \rightarrow ((\alpha \rightarrow \beta )\rightarrow (\neg \beta \rightarrow \neg \alpha ))$

   ergibt. Mit der Fallunterscheidungsregel folgt die Behauptung.
   

6. Dies folgt aus (3), (4) und (5).
   

Zur bewiesenen Aussage