Aussagenlogik/Vollständigkeitssatz/Tautologie/Konstruktiv/Fakt/Beweis

Beweis

Es seien $p_1,\dots ,p_n$ die in $\alpha$ vorkommenden Aussagenvariablen. Es sei

$\gamma =\pm p_1\wedge \dots \wedge \pm p_n$

eine fixierte Konjunktion dieser (negierten) Aussagenvariablen. Da $\alpha$ eine Tautologie ist, ist auch

$\gamma \to \alpha$

eine Tautologie, da ja die Gültigkeit von $\alpha$ nicht von der Gültigkeit von $\gamma$ abhängt. Nach Fakt ist $⊢\gamma \to \alpha$ oder $⊢\gamma \to \mathrm{\neg }\alpha$. Im zweiten Fall wäre $\gamma \to \mathrm{\neg }\alpha$ aufgrund der Korrektheit des Ableitungskalküls eine semantische Tautologie, was wegen der Erfüllbarkeit von $\gamma$ sofort zu einem Widerspruch führt. Also ist

$⊢\gamma \to \alpha ,$

und zwar für jede Kombination der Negationen in $\alpha$. Eine komplexe Fallunterscheidung entlang der Kombinationsmöglichkeiten innerhalb von $\alpha$ liefert dann

$⊢\alpha .$

Zur bewiesenen Aussage