Aussagenvariablen/Gleichung mit Variablen/Einbettung/Aufgabe

Es sei $p_i$, $i\in I$, eine Familie von Aussagenvariablen und $L$ die zugehörige aussagenlogische Sprache. Es sei $S$ ein Symbolalphabet bestehend aus den Variablen $x_i$, $i\in I$, und dem einen Konstantensymbol $c$ und es sei $L^S$ die zugehörige prädikatenlogische Sprache. Es sei

${\beta }_i:=x_i=c\in L^S.$

1. Definiere rekursiv eine natürliche Abbildung

   $\Psi :L⟶L^S,$

   die $p_i$ auf ${\beta }_i$ abbildet.

2. Ist $\Psi$ injektiv?
3. Ist $\Psi$ surjektiv?
4. Zeige für alle $\alpha \in L$, dass $⊢\alpha$ (im Ableitungskalkül der Aussagenlogik) genau dann gilt, wenn $⊢\Psi (\alpha )$ (im Ableitungskalkül der Prädikatenlogik) gilt.

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