Babylonisches Wurzelziehen/Motivierendes Beispiel/5/Startwert 3/Beispiel

Wir wollen die Quadratwurzel einer natürlichen Zahl „berechnen“, sagen wir von ${}5$. Eine solche Zahl ${}x$ mit der Eigenschaft ${}x^{2}=5$ gibt es nicht innerhalb der rationalen Zahlen, wie aus der eindeutigen Primfaktorzerlegung folgt. Wenn ${}x\in \mathbb {R}$ ein solches Element ist, so hat auch ${}-x$ diese Eigenschaft. Mehr als zwei Lösungen kann es aber nach Aufgabe nicht geben, so dass wir nur nach der positiven Lösung suchen müssen.

Obwohl es innerhalb der rationalen Zahlen keine Lösung für die Gleichung ${}x^{2}=5$ gibt, so gibt es doch beliebig gute Approximationen innerhalb der rationalen Zahlen dafür. Beliebig gut heißt dabei, dass der Fehler (oder die Abweichung) unter jede positive Schranke gedrückt werden kann. Das klassische Verfahren, um eine Quadratwurzel beliebig gut anzunähern, ist das Heron-Verfahren, das man auch babylonisches Wurzelziehen nennt. Dies ist ein iteratives Verfahren, d.h., die nächste Approximation wird aus den vorausgehenden Approximationen berechnet. Beginnen wir mit ${}a:=x_{0}:=3$ als erster Näherung. Wegen ${}x_{0}^{2}=3^{2}=9>5$ ist ${}x_{0}$ zu groß, d.h. es ist ${}x_{0}>{\sqrt {5}}$. Aus ${}a^{2}>5$ (mit ${}a$ positiv) folgt zunächst ${}5/a^{2}<1$ und daraus ${}(5/a)^{2}<5$, d.h. ${}5/a<{\sqrt {5}}$. Man hat also die Abschätzungen

${}{\frac {5}{a}}<{\sqrt {5}}<a\,$

wobei links eine rationale Zahl steht, wenn rechts eine rationale Zahl steht. Eine solche Abschätzung vermittelt offenbar eine quantitative Vorstellung darüber, wo ${}{\sqrt {5}}$ liegt. Die Differenz ${}a-5/a$ ist ein Maß für die Güte der Approximation.

Beim Startwert ${}3$ ergibt sich, dass die Quadratwurzel von ${}5$ zwischen ${}5/3$ und ${}3$ liegt. Man nimmt nun das arithmetische Mittel der beiden Intervallgrenzen, also

${}x_{1}:={\frac {3+{\frac {5}{3}}}{2}}={\frac {7}{3}}\,.$

Wegen ${}{\left({\frac {7}{3}}\right)}^{2}={\frac {49}{9}}>5$ ist dieser Wert wieder zu groß und daher liegt ${}{\sqrt {5}}$ im Intervall ${}[5\cdot {\frac {3}{7}},{\frac {7}{3}}]$. Von diesen Intervallgrenzen nimmt man erneut das arithmetische Mittel und setzt

${}x_{2}:={\frac {{\frac {15}{7}}+{\frac {7}{3}}}{2}}={\frac {47}{21}}\,$

als nächste Approximation. So fortfahrend erhält man eine immer besser werdende rationale Approximation von ${}{\sqrt {5}}$.